intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sin 8x cot x , dx | vedclass

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Question

(D) माना $I = I_1 + I_2$,जहाँ $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 8x \cot x \, dx$ और $I_2 = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left( \frac{1

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$\frac{\pi }{2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = I_1 + I_2$,जहाँ $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 8x \cot x \, dx$ और $I_2 = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left( \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right) dx$. $I_2$ के लिए,$f(x) = \ln \left( \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right)$ लें। चूँकि $f(-x) = -f(x)$,यह एक विषम फलन है। अतः,$I_2 = 0$. अब,$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 8x \cos x}{\sin x} \, dx$. सर्वसमिका $\frac{\sin 8x}{\sin x} = 2(\cos 7x + \cos 5x + \cos 3x + \cos x)$ का उपयोग करने पर: $I_1 = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos 7x + \cos 5x + \cos 3x + \cos x) \cos x \, dx$. $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर: $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos 8x + 2\cos 6x + 2\cos 4x + 2\cos 2x + 1) \, dx$. समाकलन करने पर: $I_1 = \left[ \frac{\sin 8x}{8} + \frac{\sin 6x}{3} + \frac{\sin 4x}{2} + \sin 2x + x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ और $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ जहाँ $n \in N$,तो:

यदि $b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2} nx}{\sin x} dx$,$n \in N$,तो

माना $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ और $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. तो:

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